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## 隐马尔可夫模型

• 马尔科夫链
• 马尔科夫模型

### 马尔科夫链 • 初始分布
• 转移概率和转移概率矩阵

#### 转移概率和转移概率矩阵 • 某同类物品A、B、C的宣传力度不同，愚蠢的顾客在广告宣传的效应下，第一次尝试选择购买A、B、C的概率为0.2，0.4，0.4。经零售商统计，顾客的购买倾向为下表，尝试求某顾客第四次来购买各物品的概率： ### 可观测的马尔科夫模型

• 对于一个问题而言，我们有初始分布$\pi$，转移概率矩阵A，在给定的任意一个时刻t，我们都有一个状态$q_t$，随着时间的变化，一个状态转移到另一个状态，我们便能得到一个观测序列，即为状态序列$O=[q_1,q_2,q_3,q_4,…,q_m]$。而且整个问题中一共有n个观测状态。

• 出现这样的序列的概率为：

• 有一个抽屉，抽屉里放有三种颜色的球，颜色分别为红蓝绿。某人随机的将球一个一个从抽屉中取出，球的颜色依次构成序列(C1,C2,C3,…)。如果红、蓝、绿三个状态的初始分布为$\pi=(0.5,0.2,0.3)$，转移概率矩阵:
• 那么出现颜色序列为：红，红，绿，绿 的概率是多少？

0.4 0.3 0.3
0.2 0.6 0.2

• [红，红，红]
• [红，红，蓝]
• [红，蓝，红]
• [蓝，红，红]

### 隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model） • 观测集合：$R=\{R_1,R_2,R_3,R_4,…,R_m\}$
• 代表我们能观测到的状态有哪些，比如抓小球的例子中就是红蓝绿三种颜色。
• 观测序列：$O=[o_1,o_2,o_3,o_4,…,o_l]$
• 代表我们能观测到的具体的观测序列
• 状态集合：$S=\{S_1,S_2,S_3,S_4,…,S_n\}$
• 代表状态的集合，比如上面的下雨天的例子中，状态就是晴天、雨天
• 状态序列：$Q=[q_1,q_2,q_3,q_4,…,q_l]$
• 就是出现某些状态的序列
• 观测概率：$P\{o_i=R_k|q_t=S_j\}=b_j(i)$，记$B=[b_j(i)]$
• 观测概率是隐马尔科夫模型特有的，在$t$时刻的时候，出现状态$q$，观测到状态$o_i$为指定状态$R_k$的概率。

• 不同的状态序列可以产生相同的观测序列（以不同的概率产生）
• 状态转移是随机的，系统在一个状态中产生的观测也是随机的
• 可观测马尔科夫模型是隐马尔科夫模型的特例：当$m=n$，如果$i=j,b_j(i)=1$否则$b_j(i)=0$。
• 即在马尔科夫模型下，状态序列和观测序列是一样的。

#### 三个基本问题

• （1）估计：已知模型$(A,B,\pi)$，求观测序列出现的概率
• 解决方法：前后向算法
• （2）预测：已知模型$(A,B,\pi)$和一个观测序列，求对应的不可观测的状态序列
• 解决方法：Viterbi算法
• （3）学习：已知一组观测序列，求模型$(A,B,\pi)$
• 解决方法：Baum-Welch算法

• 如果股市只有三种状态：牛市、熊市、普通
• 而且股票只有三种趋势：涨、跌、不变
• 如何利用隐马尔可夫模型进行股市预测？ • （1）已知模型，求观测到连续一周出现涨势的概率
• （2）已知模型，观察到一周的变化情况为：涨、不变、涨、不变、跌，问股市的状态变化情况？
• （3）观察到股市一周的变化情况为：涨、不变、涨、不变、跌，求下周一开盘时的涨跌情况？

##### 估计问题：已知模型，求观测到连续一周出现涨势的概率 • 涨，不变，涨，跌，涨
• 跌，涨，跌，涨，不变
• 不变，不变，跌，涨，涨