【傅里叶变换及其应用】01-周期性,三角函数表示复杂函数

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本质上,傅里叶级数可以看做是用数学的手段研究周期性现象的一门学科。

我们在初中高中学过cos和sin这些三角函数,我们是否可以使用这些三角函数来建模非常广泛的周期性现象呢?这正是这节课需要解决的问题。

如何使用简单的sin(t),cos(t)来建模复杂的周期性现象?

首先,我们这里说的复杂的周期性现象会普遍到什么程度呢?我们希望把这些方法应用在普遍的条件下,但是并不是所有的现象都是周期性的(其实甚至在一些周期性的现象中,这个假定也未必行得通)。所以,并不是所有的现象都试用这个方法

其实现实生活中的现象,最终都会结束,我们只观察某一个特定时间段的现象。而数学函数,比如正余弦函数,都是无始无终的。那么如何用它们来描述那些会结束的现象呢?

在面对实际的现象时,比如下面这种现象:

只存在于一个有限的时间段内,画出一个这样的信号。这并不是一个周期现象,但如果我们重复绘制这个图像,就可以强制使其成为周期性的函数了。

或许我们只是对其中的一部分感兴趣,但对于数学分析,如果使其具有周期性,就对所有的都适用了。这个过程叫做信号的周期化(periodization of a signal)。它可以用于研究非周期性信号。

信号周期化

我们通常把周期函数的周期设定为1,这样更加方便。因此函数$f(t)$需要满足:

  • 对任何$t$均有$f(t+1)=f(t)$,

因此我们的信号模型可以表示为:

$$sin(2πt) \tag{1-1} $$

以及

$$cos(2πt) \tag{1-2}$$

如果我们知道一个周期为1的周期性函数在任意一个单位为1的时间间隔内的形式,那么我们就可以知道整个函数了。

生成复杂的周期函数

那么我们如何用简单的sin和cos函数来表示各种复杂的周期现象呢?

事实上,我们可以通过对$sin(2πt)$和$cos(2πt)$进行变换和相加的方式来得到相当普遍的周期为1的周期函数。

对正余弦函数进行变换

下图是$sin(2πt)$的函数图像,其周期为1,频率为1:

经过变换之后,$sin(4πt)$的函数图像如下,其周期为$1/2$,频率为2:

其实你也可以说他的周期是1。因为一秒之内它经历了两个完整的周期,你可以把这两个完整的周期看做一个周期,图形在整个坐标轴上一直在重复这个原始信号。

再次变换之后,$sin(6πt)$的函数图像如下,其周期为$1/3$,频率为3:

同样,也可以把它看做周期是1。

对正余弦函数进行合并

现在把上面的三个函数合并:

$$
y=sin(2πt) + sin(4πt) + sin(6πt)
$$

其效果如下:

组合之后的函数周期为1,它由3个不同频率的周期函数组成,频率分布为1,2,3。但把它们组合起来之后,却只有一个周期:周期为1。

我们不仅可以改变频率,也可以单独改变幅度,并且可以改变其中每一个的相位。

表示一个复杂的周期函数的几种方式

最基本的形式

一个复杂的周期为1的信号,可以通过变换一系列的正余弦函数的频率幅度相位,然后将它们加起来,来得到。

$$
y=\sum_{k=1}^N A_ksin(2πkt+φ_k) \tag{1-3}
$$

这是表示一个复杂周期的最一般的形式。

利用和角公式来表示

正余弦和角公式:

$$
sin(2πkt+φ_k)=sin(2πkt) + cosφ_k + cos(2πkt) + sinφ_k
\tag{1-4}
$$

因此我们可以将上面的公式$(1-3)$展开成以下形式:

$$
\begin{align*}
y&=\sum_{k=1}^N A_k(sin(2πkt) + cosφ_k + cos(2πkt) + sinφ_k)\\
&=\sum_k^N (a_kcos(2πkt)+b_ksin(2πkt))
\tag{1-5}
\end{align*}
$$

这里的$a_k$和$b_k$是由A计算出的。

加一个常数项的形式(直流分量形式)

$$
y = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^N (a_kcos(2πkt)+b_ksin(2πkt))
\tag{1-6}
$$

这里的$\frac{a_0}{2}$是一个常数项,电器工程师常称之为直流分量(dc component)。因为电器工程师在研究交流电或直流电的过程中,发现有一部分是不随着周期发生改变的,这一部分称之为直流分量

复指数的表示形式

上面几种都是比较常用的一些用于表示一个复杂信号的表示形式。但是迄今为止,最方便使用的还是用复指数的形式来表示:

$$
e^{2πkt}=cos(2πkt) + i*sin(2πkt)
\tag{1-7}
$$

在这里$i$的值为:

$$
i=\sqrt{-1}
\tag{1-8}
$$

根据著名的欧拉公式,我们可以用复指数的形式来表示正余弦函数,其中$cos$是实部,$sin$是虚部:

$$
cos(2πkt)=\frac{e^{2πikt}+e^{-2πikt}}{2}
\\
sin(2πkt)=\frac{e^{2πikt}-e^{-2πikt}}{2i}
\tag{1-9}
$$

你也可以将上面公式$(1-5)$的三角函数表示的和式的形式写成这种形式:

$$
\sum_{k=-n}^n C_ke^{2πikt}
\tag{1-10}
$$

在这里$C_k$是复数。

共轭

对于复数$a + bi$来说,其共轭为$a - bi$。
复数$C_k$的共轭表示为$\bar{C_k}$

另外,如果一个复数等于其自身的共轭意味着什么呢?$C_0=\bar{C_0}$

这意味着这个数本身是实数。

如果你试着把余弦表示的方式全部转成了复指数的形式,你会发现$C_k$不仅仅是复数,它同时还满足对称性。并且由于它的对称性,所以$\sum_{k=-n}^n C_k $的总和为实数。

即:$ C_{-k} $等于$C_k$的共轭:

$$
C_-k=\bar{C_k}
\tag{1-11}
$$

这是一条重要的性质。

反过来,如果和式的系数满足对称性,那么总和就应该是实数。这是因为可以把所有项分成正项和负项两组,并且由于$(1-11)$的对称关系,复数和复数的共轭的和结果是实数,可以得出这个结论。

我们生成的复杂的周期函数,其普遍性有多强?

$f(t)$是周期为1的周期函数,我们可以把$f(t)$写成$(1-10)$那种形式吗?

$$
f(t)=\sum_{k=-n}^n C_ke^{2πikt}
\tag{1-12}
$$

换句话说,一个周期为1的复杂的周期函数,我们能用正余弦函数通过叠加变化以及组合来生成出来吗?

假设我们能做到

假设我们可以做到用$(1-12)$来表示所有复杂的周期为1的周期函数,那么对于未知系数$C_k$我们如何求得呢?

以下是求$C_k$的过程:

$$
\begin{align*}
f(t)&=\sum_{k=-n}^n C_ke^{2πikt}\\
&=…+C_km^{2πikt}+…
\end{align*}
$$

两边同时乘以$e^{-2\pi imt}$:

然后对两边同时求积分,积分区间是0到1,因为我们的频率是1:

由于:

所以:

其中:

这里的:

是一个整数,就像$sin(2π)$乘以一个整数,这个整数是1,所以这里的结果是0。

所以我们的$C_m$可以得到下面的结果:

期初我们设定$f(t)$是已知的,所以我们就可以求得$C_m$了。


结论:给定周期为1的周期函数$f(t)$,如果能把$f(t)$写成和式的形式:$f(t)=\sum_{k=-n}^nC_ke^{2\pi ikt}$,那么溪水会按照这个公式给出,其中$C_k=\int_0^{1}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$。

下节课我们将介绍,我们得到的这些参数,将带来什么意义。

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