线性代数05-求解三元线性方程组

求解三元线性方程组

二元线性方程组,相当于求解在x,y坐标系中,两条不平行的直线的焦点坐标。

同理,求解三元线性方程组,相当于求解在x,y,z坐标系中,三个互不平行的平面的焦点坐标。

例如:

$$
\begin{cases}
-x + 2y - z = 9\\
x - 7y - 2z = -20\\
2x + 2y + z = 2
\end{cases}
$$

通过增广矩阵求解:

$$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 2 & -1 & 9\
3 & -7 & -2 & -20\
2 & 2 & 1 & 2
\end{array}
\right]\tag{1}
$$

第二行加上第一行的3倍,第三行加第一行的2倍,消去第一列。

$$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 2 & -1 & 9\
0 & -1 & -5 & 7\
0 & 6 & -1 & 20
\end{array}
\right]\tag{2}
$$

同理,第三行与第二行进行运算,消除第二列:

$$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 2 & -1 & 9\
0 & -1 & -5 & 7\
0 & 0 & -31 & 62
\end{array}
\right]\tag{3}
$$

$$
\left[
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 2 & -1 & 9\
0 & -1 & -5 & 7\
0 & 0 & 1& -2
\end{array}
\right]\tag{4}
$$

从而得出:

$$
\begin{cases}
-x + 2y - z = 9\\
-y - 5z = 7\\
z = -2
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
x = -1\\
y = 3\\
z = -2
\end{cases}
$$