线性代数03-矩阵法求解方程组

矩阵是一种思考问题的方式,我们可以用它来解决我们遇到的一些问题:

求解二元一次方程组

$$
3x + 2y = 7
$$

$$
-6x + 6y = 6
$$

通过矩阵来求解,可以转换成如下格式:

$$
\begin{bmatrix}
3 & 2 \
-6 & 6
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
{=}
\begin{bmatrix}
7 \
6
\end{bmatrix}
$$

相当于:

$$
A \cdot x=B
$$

为了求解出未知数x,我们需要在等式两边乘以矩阵A的逆矩阵:

$$
A^{-1} \cdot A \cdot x=A^{-1} \cdot B
$$

$$
I \cdot x=A^{-1} \cdot B
$$

$$
x=A^{-1} \cdot B
$$

解得:

$$
A^{-1}=
\dfrac{1}{30}
\begin{bmatrix}
6 & -2 \
-6 & 3
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
=
\dfrac{1}{30}
\begin{bmatrix}
6 & -2 \
-6 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
7 \
6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \
2
\end{bmatrix}
$$