线性代数02-矩阵的逆

单位向量

如果有一个矩阵I,对于以下两种情况都成立:

$$
I \cdot A = A
$$

$$
A \cdot I = A
$$

那么I被称为单位矩阵。

单位矩阵是行列数相同,第i行i列为1,其他为0的矩阵。

例如:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

矩阵的逆

如果矩阵I是单位矩阵

$$
A \cdot A^{-1} = I
$$

$$
A^{-1} \cdot A = I
$$

那么$$A^{-1}$$就是矩阵A的逆矩阵。

对2x2的矩阵求逆

$$
A
{=}
\begin{bmatrix}
a & b \
c & d
\end{bmatrix}
$$

$$
A^{-1}
{=}
\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \
-c & a
\end{bmatrix}
$$

通过高思消元法(增广矩阵)求任意矩阵的逆矩阵

对增广矩阵进行一系列初等行变换 使得左边的矩阵变成右边的单位矩阵

所谓初等行变换 就是某一行与其他任意行进行加减或者成倍的加减 或者替换 操作

举例:

$$
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\
0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]\tag{0}
$$

$$
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\
0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}
\right]\tag{1}
$$

$$
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\
0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right]\tag{2}
$$

$$
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -2
\end{array}
\right]\tag{3}
$$

$$
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -2
\end{array}
\right]\tag{3}
$$

经过一系列初等变化,左侧矩阵变为了单位矩阵,右侧矩阵变为了原左侧矩阵的逆矩阵。